商群

基本简介群的子集的乘积

凭借这个运算我们可以首先解释商群是什么，并接着解释正规子群是什么:

群 G 的商群是其自身在这个运算下的群 G 的划分。

它完全由包含 e 的子集所确定。G 的正规子群是在任何这种划分中包含 e 的集合。在划分中的子集是这个正规子群的陪集。

群 G 的子群 N 是正规子群，当且仅当陪集等式 对于所有 G 中的 a 都成立。依据上述定义的在子集上的二元运算，G 的正规其群是交换于 G 的所有子集的子群，并指示 。置换于 G 的所有子群的子群叫做可置换子群。定义

设 N 是群 G 的正规子群。我们定义集合 是 N 在 G 中的所有左陪集的集合，就是说。在 上的群运算定义如上。换句话说，对于每个 中 aN 和 bN，aN 和 bN 的乘积 。这个运算是闭合的，因为实际上是左陪集:。

N 的正规性被用在了这个等式中。因为 N 的正规性，N 在 G 中的左陪集和右陪集是相等的，所以 也可以定义为 N 在 G 中所有的右陪集的集合。因为运算是从 G 的子集的乘积得出的，这个运算是良好定义的(不依赖于表示的特定选择)，符合结合律的，并有单位元 N。 的元素 aN 的逆元是。定义的动机 叫做商群的理由来自整数的除法。在 12 除以 3 的时候得到答案 4 是因为我们可以把 12 个对象重现分组为 3 个对象的 4 个子搜集。商群出于同样想法，但用一个群作为最终答案而非一个数，因为群要比对象的随机搜集要更有结构。

更细致的说，在查看 而 N 是 G 的正规子群的时候，这个群结构形成一种自然“重新分组”。它们是 N 在 G 中陪集。因为我们从一个群和正规子群得到的最终的商包含比只是陪集的(正常除法所产生的)数目要更多的信息，这里得到了一个群结构自身。例子

考虑整数集 Z (在加法下)的群和所有偶数构成的子群 2Z。这是个正规子群，因为 Z 是阿贝尔群。只有两个陪集: 偶数的集合和奇数的集合；因此商群 是两个元素的循环群。这个商群同构于集合 带有模 2 加法运算的群；非正式的说，有时称 等于集合 带有模 2 加法。

上个例子的稍微一般化。再次考虑整数集 Z 在加法下的群。设 n 是任何正整数。我们考虑由 n 的所有倍数构成的 Z 的子群 nZ。nZ 在 Z 中还是正规子群因为 Z 是阿贝尔群。陪集们是搜集。整数 k 属于陪集，这里的 r 是 k 除以 n 的馀数。商 可以被认为模以 n 的“馀数”的群。这是个 n 阶循环群。

N 在 G 中的陪集考虑复数十二次单位一的根的乘法阿贝尔群 G，它们是在单位圆上的点，它们在右图中展示为着色的球并在每点上用数标记出它们的幅角。考虑它由单位一的四次根构成的子群 N，在图中表示为红色球。这个正规子群把群分解为三个陪集，分别表示为红色、绿色和蓝色。你可以验证这些陪集形成了三个元素的群(红色元素和蓝色元素的乘积是蓝色元素，蓝色元素的逆元是绿色元素等等)。因此商群 是三种颜色元素的群，它又是三个元素的循环群。

考虑实数集 R 在加法下的群，和整数集子群 Z。Z 在 R 中的陪集们是形如 a + Z 的所有集合，这里 是实数。这种陪集的加法是通过做相应的实数的加法，并在结果大于或等于 1 的时候减去 1 完成的。商群 同构于圆群 S1，它是绝对值为 1 的复数在乘法下的群，或者说关于原点的二维旋转的群，也就是特殊正交 。有一个同构给出为(参见欧拉恒等式)。

如果 G 是可逆的实数矩阵的群，而 N 是带有行列式为 1 的 实数矩阵的子群，那么 N 在 G 中是正规子群(因为它是行列式同态的核)。N 的陪集们是带有给定行列式的矩阵的集合们，因此 同构于非零实数的乘法群。

考虑阿贝尔群 (也就是集合带有加法模 4)，和它的子群。商群 是。这是带有单位元的群，群运算如。子群 和商群 同构于 Z2。

考虑乘法群。第 n 个馀数的集合 N 是 的阶乘法子群。则 N 在 G 中是正规子群并且因子群 有陪集 N 。 Pallier加密系统基于了在不知道 n 的因子分解的时候难于确定 G 的随机元素的陪集的猜想。性质

商群同构于平凡群(只有一个元素的群)，而 G / 同构于 G。 的阶定义为等于，它是 N 在 G 中的子群的指标(index)。如果 G 是有限的，这个指标还等于 G 的阶除以 N 的阶。注意 可以在 G 和 N 二者是无限的时候是有限的(比如 )。

有一个“自然”满射群同态 ，把每个 G 的元素 g 映射到 g 所属于的 N 的陪集上，也就是。映射 π 有时叫做“ G 到 上的规范投影”。它的核是 N。

在包含 N 的 G 的子群和 的子群之间有一个双射映射；如果 H 是包含 N 的 G 的子群，则对应的 的子群是 π(H)。这个映射对于 G 的正规子群和 也成立，并在格定理中形式化。

商群的一些重要性质记录在同态基本定理和同构基本定理中。

如果 G 是阿贝尔群、幂零群或可解群，则 也是。

如果 G 是循环群或有限生成群，则 也是。

如果 N 被包含在 G 的中心内，则 G 也叫做这个商群的中心扩张。

如果 H 是在有限群 G 中的子群，并且 H 的阶是 G 的阶的一半，则 H 保证是正规子群，因此 存在并同构 。这个结果还可以陈述为“任何指标为 2 的子群都是正规子群”，并且它的这种形式还适用于无限群。

所有群都同构于一个自由群的商。

有时但非必然的，群 G 可以从 和 N 重构为一个直积或半直积。判定何时成立的问题叫做扩张问题。不成立的一个例子如下。同构于 ，并且还同构于，但是唯一的半直积是直积，因为 只有一个平凡的自同构。所以 不同于，它不能被重构。参见

商环，也叫做因子环

群扩张

格定理

商范畴

短正合序列