波动力学

概念

量子力学的两大形式之一，由薛定谔创立，与海森伯等人创立的矩阵力学并列。

微观粒子具有波动性的假设-模型图

根据微观粒子的波动性建立起来的用波动方程描述微观粒子运动规律的理论，量子力学理论的一种表述形式。1924年，L.V.德布罗意提出微观粒子具有波动性的假设。1926年，E.薛定谔在此基础上提出微观粒子运动满足的波动方程，用于解决氢原子问题获得成功，后来用于其他问题，并发展了完善的近似计算方法。与运用矩阵作为数学工具的矩阵力学相比，波动力学使用比较熟悉的波动语言和偏微分方程，比较适合于初学者，在量子理论的基本应用中最常使用的也是这种形式。统计解释

波动力学

按照德布罗意的观念，和每个粒子相联系的，都有一个波。怎么理解粒子性和波动性之NJ的联系，这是?量子力学首先碰到的一个根本问题。

能否认为波由粒子所组成？答案是否定的。因为粒子束的单缝或双缝等实验表明，若减小入射粒子流的强度，让粒子近似地一个一个地从粒子源射出，实验发现，虽则开始时底片上的感光点是无规则的，但只要时间足够长，感光点足够多，底片上仍会出现衍射花样。这说明，粒子的衍射现象与是否有其他粒子无关。如果波由粒子组成，波的干涉、衍射等现象必然依赖于粒子间的相互作用。这和上述实验结果矛盾。实际上，单个粒子也有波动性。

那么，能否认为粒子由波所组成。比方，是否可以认为粒子就是波包？答案也是否定的。以自由粒子为例。对于自由粒子，由于不受外力场的作用，粒子的能量E和动量P均为常矢量。按德布罗意关式，和自由粒子相联系的波的频率，波矢k均为常数及常矢量。因此和自由粒子相联系的波是平面波。

其振幅A与坐标无关。因此它充满全空间。若认为自由粒子由波组成，则一个自由粒子将占据整个空间，这当然是不合理的。而且，自由粒子的德布罗意波的相速度是k的函数，按必然存在色散。如果把自由粒子看成是个物质波包，即使在真空中，也会因为存在色散而使粒子自动解体。这当然与实际情况不符。

在历史上，对波粒二象性和波函数的解释，一直是有争议的。即使到现代，也仍然有不同观点。而且持不同观点的人有些还是量子力学的奠基人之一。但被物理学家们普遍接受的波函数的解释是玻恩(M.?Barn)提出的统计解释。他认为，粒子在衍射或干涉实验中所揭示的波动性质，既可以看成是大量粒子在同一个实验中的统计结果，也可以认为是单个粒子在许多次相同实验中显示的统计结果。感光底片在r处的强度，与打在该点的粒子数成正比，也和波函数在该点的振幅的绝对值的平方成正比。波函数所刻划的实际上是粒子在某时刻在空间的几率分布。事实上，通常波动性总是指某种物理量在空间的分布呈周期性变化，并且由于波的相干叠加，而出现干涉和衍射等现象。而在玻恩的统计解释中，他保留了波的最重要的特性一一相干叠加，不过，他把“某种物理量”改为“粒子出现的几率”。玻恩提出的波函数统计解释是：波函数在某一时刻在空间中某一点的强度，即其振幅绝对值的平方和在这一点中找到粒子的几率成正比，和粒子相联系的波是概率波。

态叠加原理

量子力学对粒子运动状态的描述与经典力学完全不同。在经典力学中，粒子的坐标和动量有完全确定的数值，并且一旦给定某一时刻粒子的坐标和动量，则不但在该时刻粒子的状态完全确定，而且原则上还可以通过求解牛顿方程确定以后任何时刻的坐标和动量，从而确定以后任何时刻粒子的状态。但在量子力学里，粒子的运动状态用波函数描述。在某一量子态中测量坐标和动量，一般地，坐标和动量不同时具有确定值。以平面波为例，平面波的动量p有完全确一定的数值，但它的振幅与空间坐标无关，粒子在空间各点出现的几率密度相等。换句话说，粒子的位置坐标是完全不确定的。一般说来，在量子力学中，除非是平面波，否则在以描述的粒子的量子态中测量动量p，将无确定值。因此，在任一量子态中测量动量，由于每一个确定的动量都对应一个确定的单色平面波，故而实际上等于是按对应于各种动量的平面波展开，将ψ(r,t)视为由各种单色平面波叠加而成的波。从数学上看，相当于对作傅里叶展开。

在傅里叶展式中，每个分波都是单色平面波，都有确定动量。在物理上，傅里叶展开相当于作频谱分析。(2.2.1)式中的展开系，表示用各种相应的平面波叠加出时，各种平面波得几率幅，或者说，中，出现动量为p,能量为E的单色平面波的几率是。

在量子力学中，既可以用描述粒子的量子态，也可以用C(p,t)描述粒子的量子态。因为按量子力学，给出在t时刻，在r处粒子出现的几率密度。由这个几率密度，原则上可以算出在描述的态中的各种可观#11量的平均值。同样，给出在t时刻，动量为p的几率密度。利用，原则上也可算出在同一量子态中的各种可观测量的平均值。所不同的只是子态在以r为自变量，在坐标空间中的表示，自变量，在动量空间中的表示。它们是同一个量子态在两个不同表象中的不同表示。这两种表示是完全等价的。薛定愕方程

在经典力学中，体系运动状态随时间的变化遵循牛顿方程。牛顿方程是关于变量。的二阶段微分方程，方程的系数只含有粒子的内察物理量—质量，。一旦初始条件给定，方程将唯一地决定以后任何时刻的运动状态。

在量子力学中，体系的运动状态由波函数到r,t)描述。和经典力学类似，也可以建立一个决定必(r,t)随，变化规律的方程式。从物理上看，这个方程必须满足下述条件:

(1)由于波函数满足态叠加原理，而态叠加原理对任何时间都成立，因此描写波函数随时间变化的方程必然是线性方程。

(2)方程的系数必须仅含有诸如质量m，电荷e等内察物理量，不应含有和个别粒子运动状态的特定性质有关的量，比如动量

P等。另外，方程的系数应含有普朗克常数，以表征这一方程确是

描述普朗克常数起决定作用的微观世界中粒子的运动方程。

(3)因为波函数沪的变数是r,?t,因此它必然是个关于r和t的偏微分方程。我们要求这个微分方程不高于二阶，以便一旦初始条件和边界条件给定后，方程能唯一地确定以后任何时刻的波函数。因为根据数学物理方法中的史斗姆一刘维定理，二阶正规的偏微分方程的解，存在唯尸一性定理成立。

(4)由于经典力学是量子力学的极限情况，因此这个方程必须满足对应原理：当A~。时，它能过渡到牛顿方程。

(5)对于自由粒子这一特殊情况，方程的解应是平面波。

当然，只有这些条件，不足以惟一地决定所需要的描述随时间变化的方程。上面的这些条件，只为建立方程提供了一些必要的条件，可建立方程以启迪。

主要思想

旧的力学理论相当于光学中用彼此孤立的光线来处理问题，新的波动力学相当于光学中用波动理论处理问题。物质波在波动力学过程中的作用于光波在光学过程中的作用一样。从旧的理论转变到新的理论的标志之一是引入了与光的衍射现象十分类似的现象。引入这种现象并不显得那么重要，否则旧的力学就不会长时期地得到认可。但是如果整个力学系统的大型可以与“物质波”的波长相比，那么被忽略的现象就将会很清楚地显现出来，并且对力学过程有很大影响。这些现象对于旧的理论来说是难解之谜。

因此，在像原子这样的微小系统中，旧的理论注定要失败。但所有在量子世界出现的奇怪的现象都可由新的波动理论中推出。为了解释这些现象，曾经有很多附加条件被迫被强加于旧理论，以解释观察到的事实，但这些条件的添加显得十分牵强。

对于为什么原子的直径与假设的物质波的播出具有几乎相同的数量级，薛定谔认为这既不是纯粹的巧合，也不是特殊的假设，而是可以从波动理论中自然地得出的。这是因为如果把干涉区（即衍射晕）与原子等同起来，原子实际上纯粹是被原子核俘获的电子波的衍射现象。波动力学用了极少的假设就解决了各种理论问题。

创建经过

薛定谔创建波动力学主要是运用类比的方法来建立的。英国的哈密顿比较早就对力学和光学进行了类比。光学中的费马定理（光走的路程最短）同理论力学中的最小作用量原理（物质沿最短的途径自由运动）是很相似的，因此认为可以将光学和力学联系起来。在光学中有牛顿的几何光学和惠更斯的波动光学。薛定谔又进一步想，既然力学和光学相似，光学中有几何光学和惠更斯的波动光学，而物质皆有波动性，那就应当有波动力学。他说：“从通常的力学走向波动力学的一步，就像光学中用惠更斯理论来代替牛顿理论所迈进的一步相类似。我们可以构成这种象征性的比例式：通常力学：波动力学=几何光学：波动光学。

波动力学的出发点是波函数。因为微观粒子具有波粒二象性，所以在描述粒子时，就必须对波动性与微粒性作出统一的描述。这种描述就用波函数表示。薛定谔先求出自由粒子所满足的运动方程，然后再把它推广到粒子受到场作用的情形，就得到薛定谔方程。

面临的困难

如果能够完全抛弃旧的体系而代之以新的体系，波动力学就不存在问题，但是事实并非如此。这是因为按照波动力学，对于粒子而言，有无限条可能的轨道，而没有一条轨道比其他轨道更加优越，成为个别情况下的真实运行轨道。但是，我们确实看到过单个粒子的轨道。波动力学对此无法准确解释。因此，尽管薛定谔和爱因斯坦一样极力反对“上帝掷骰子”这种观点，但是波动力学也无法否定粒子的不确定性。

薛定谔

薛定谔(1887～1961)，奥地利理论物理学家，是波动力学的创始人。薛定谔1887年8月12日生于维也纳一个油布工厂主的家庭。他的科学成就有：

（1）创立波动力学：

除了较少的实验性研究外，薛定谔教授实际上把全部注意力都集中于理论物理学问题的研究。1924年，法国物理学家德布罗意首先提出了物质波理论，即一切微观粒子，象光一样也都具有波粒二象性。在这一理论的基础上，薛定谔于1926年独立地创立了波动力学，提出了薛定谔方程，确定了波函数的变化规律。这与海森伯等人几乎同时创立的矩阵力学成为量子力学的双胞胎。这些理论现在已成为研究原子、分子等微观粒子的有力工具，并奠定了基本粒子相互作用的理论基础。薛定谔的理论，与海森伯所发展的形式不同，这个理论的数学式子便于实际应用。尽管形式上好象两种完全不同的理论，但是薛定谔能够证明它们在数学上是等价的。薛定谔波动方程提出之后，在微观物理学中得到了广泛的应用。薛定谔的许多科学论著中，以1927年和1928年发表的《波动力学论文集》和《关于波动力学的四次演讲》最为著名。对于固体的比热、统计热力学、原子光谱、镭、时间与空间等方面，他都发表过研究论文。

（2）推动分子生物学的发展：

1944年，薛定谔还发表了《生命是什么？——活细胞的物理面貌》一书（英文版，1948；中译本，1973）。在此书中，薛定谔试图用热力学、量子力学和化学理论来解释生命的本性，引进了非周期性晶体、负熵、遗传密码、量子跃迁式的突变等概念。这本书使许多青年物理学家开始注意生命科学中提出的问题，引导人们用物理学、化学方法去研究生命的本性，使薛定谔成了今天蓬勃发展的分子生物学的先驱。

（3）薛定谔对哲学有浓厚的兴趣。早在第一次世界大战时期，他就深入研究过B．斯宾诺莎、A．叔本华、E．马赫、R．西蒙、R．阿芬那留斯等人的哲学著作。晚年，他致力于物理学基础和有关哲学问题的研究，写了《科学和人文主义——当代的物理学》（英文版，1951）等哲学性著作。