模论

概念

上同调模(cohomology modules)是一种重要的模。指由上复形给出的模。设：

上同调模

上同调模

上同调模

上同调模

上同调模

上同调模

上同调模

是环A上的复形，因为dd=0，所以，于是为A模，称此模为上复形X的上同调模。分别以来表示，把的元素分别称为上链、上循环、上边缘、上同调类。若X是环A上的复形，则对偶地可以定义复形X的同调模H(X)=ker d/Im d，把X，Z，B，H的元素分别称为链、循环、边缘、同调类。

模

模是一个重要的代数系统。它是一个带算子区A的交换(加)群M。给定集合A与交换群M，若定义了a∈A与x∈M的乘积ax∈M，并且这个积满足条件：

1.a(x+y)=ax+ay (a∈A，x，y∈M)，

则称A为M的算子区，称M为带算子区A的模，又称为A上的模或A模。这时，由对应(a，x)→ax确定的映射A×M→M，称为A作用到M上的运算。任意a∈A可诱导出M的自同态a：x→ax，而考虑交换群M能否成为A模就是看能否给出映射：

μ： A→End(M)，　a→a.

特别地，考虑A是结合环，若满足上述条件1的A模还满足：

2.(a+b)x=ax+bx;

3.(ab)x=a(bx);

即映射μ：A→End(M)为环同态，则称M为左A模或左环模。由于A到M上的运算是写在左侧，所以M就称为左A模，记为M。类似地，有右A模M，记为M。若A有单位元1，且又满足条件：

4.1x=x (x∈M);

则称M为酉模或幺模。

模论

早在19世纪，狄利克雷(Dirichlet，P.G.L.)就曾经考虑过多项式环上的模，20世纪20年代，诺特(Noether，E.)曾一再提出过模的重要作用。交换环上的模在代数几何中有重要作用，非交换环特别是群环上的模就是群的线性表示，域上的模就是向量空间。到了20世纪40年代，由于环论的需要和同调代数的兴起，模论得到了进一步发展。近30年来，已成为同调代数、群论、环论、代数K理论、范畴论等分支学科研究中不可缺少的工具，并在其他数学分支，如代数几何、拓扑学、泛函分析甚至微分方程等领域里得到了较广泛的应用。现代模论已成为内容丰富、文献浩繁的代数学的一个独立分支。

同态

设E与F为两个群胚，它们的合成法则分别记为⊥与?. 称从E到F中的映射f是群胚同态，如果对于E的任一元素偶(x，y)，有：

上同调模

设E与F为两个幺半群(两个群)，称从E到F中的映射.f是幺半群(群)的同态，如果f是群胚的同态，且E的中性元素的象是F的中性元素。(在群的情况下，后一个条件是自然满足的，但是从加法幺半群N到乘法幺半群N的映射x?0是群胚的同态，而并不因此就是幺半群的同态)。

设G为乘法群，而a为G的元素。由关系f(n)=an所定义的从加法群Z到G中的映射f是群的同态。

设A与B为两个环(两个体)，称从A到B中的映射f是环(体)的同态，如果f是加法群的同态，且为乘法么半群的同态。这就是说，对A的任一元素偶(x，y)，有：

f(x+y)=f(x)+f(y)f(xy)=f(x)f(y)，

并且f将A的单位元变成B的单位元。

例如，设n为非零自然数；使任一有理整数对应其对模n的剩余类映射是从环Z到环Z/nZ上的同态。设E与F为两个A-代数(两个酉A-代数)。称从E到F中的映射f是A-代数(酉A-代数)的同态，如果它是线性映射，并且是乘法群胚(乘法幺半群)的同态。

例如，设E为交换体K上的非零有限n维向量空间，而B为E的基。则从E的全体自同态之酉代数?(E)到K中元素构成的全体n阶方阵之酉代数Mn (K)中的映射，如果该映射使E的任一自同态对应它在基B中的矩阵，则这一映射是酉代数的同态。

同态的概念能用抽象的方式加以推广。

模同态

模论的重要概念之一。指两个模之间的一类映射。设M，N是两个A模，f是加群M到N的群同态，若f还保持A到M，N上的运算，即对任意a∈A，f(ax)=af(x)，x∈M，则称f是模同态，也称A同态。常记为f∈Hom(M，N)或f∈Hom(M，N)。任意两个模M，N之间总存在模同态，例如，设f(x)=0，x∈M，通常称此同态为零同态。若N是M的子模，映射π：x→x-=x+N是M到M-的模同态，则称π为自然同态。模M，N之间的模同态集Hom(M，N)是一个加群，特别地，当M=N时，记：

End(M)=Hom(M，N)，

它是一个环，称为模M的自同态环。A是End(M)的子环。

同构

两个数学系统(例如两个代数系统)，当它们的元素及各自所定义的运算一一对应，并且运算结果也保持一一对应，则称这两个系统同构，记为≌。它们对于所定义的运算，具有相同的结构。例如，十进制数与二进制数是同构的。

建立同构关系的映射，称为同构映射。例如，当映射为一一映射，并且对应元素关于运算保持对应时，就是同构映射。

同构是数学中最重要的概念之一。在很多情况，一个难题往往可以化成另一个同构的、似乎与它不相关的、已经解决的问题，从而使原问题方便地得到解决。虽然数学发展得越来越复杂，但利用同构概念，不仅使数学得到简化，而且使数学变得越来越统一。表面上似乎不同，但本质上等价的结果，可以用统一的形式表达出来。例如，如果四色定理得到了证明，其他数学分支中与它同构的几十个假设，也同时得到了证明。

模同构

一种特殊的模同态。模M到N的同态f若是一一的并且是映上的，则称f是M到N的同构，这时称M，N是同构的模，记为MN。两个同构的模，从模的结构来看，它们没有什么区别。若f是同构，则f的逆映射f也是同构。