如图ab是圆o的直径弦cd垂直ab于点e

如图所示，AB是⊙O直径，OD⊥弦BC于点F，且交⊙O于点E，若∠AEC=∠ODB．

（1）证明：连接AC，
∵AB是⊙O的直径
∴∠ACB=90°
又∵OD⊥BC
∴AC∥OE
∴∠CAB=∠EOB
由 AC^对的圆周角相等
∴∠AEC=∠ABC
又∵∠AEC=∠ODB
∴∠ODB=∠OBC
∴△DBF∽△OBD
∴∠OBD=90°
即BD⊥AB
又∵AB是直径
∴BD是⊙O的切线．
（2）解：∵OD⊥弦BC于点F，且点O为原点
∴BF=FC
∴BF=4
由题意OB是半径即为5
∴在直角三角形OBF中OF为3
由以上（1）得到△OBF∽△OBD
∴ BD/BF=OB/OF
即得BD= 20/3．
（3）
连结BE
∵AB为直径
∴∠AEB=90°
∵OD⊥BC
∴△BFE∽△EFG
∵BF=4
FE=5-3=2
∴GF=1

已知AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB,垂足为G,E是直线AB上一动点,

：⑴证明OE*OG=r^2，⑵当E在圆外一点时是否有⑴中的结论？
⑴连接OF并延长FO交圆于H，连接HD，
∵FH为直径，∴∠FDH=90°，∴∠HFD+∠H=90°，
∵CD⊥AB，∴∠P+∠C=90°，
∵∠H=∠C，∴∠P=∠OFD，又∠FOE=∠POF，∴△OEF∽△OPF，
∴OE∶OF=OF∶OP，∴OF^2=OE*OP，即r^2=OE*OP。
⑵结论照样成立。
还是过F作直径FH，连接CH，∵FH是直径，∴∠FCH=90°，∴∠H+∠CFH=90°，
∵CD⊥AB，∴∠E+∠D=90°，∵∠D=∠H，∴∠CFH=∠E，
∠POF为公共角，∴△OPF∽△OEF，∴OP∶OF=OF∶OE，即OE*OP=OF^2=r^2。

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如图 已知ab是圆o的直径 弦cd垂直ab于点E,点M在圆O上，角M=角D

郭敦顒回答：
（1）∵∠M=∠D，∠D=∠F=（1/2）M⌒C（圆周角），F为弦MF与弦CF的交点，是两弦的另一端点，
∴∠M=∠F，CF∥MD，连CM，FD，则MCFD为等腰梯形，CD是等腰梯形MCFD的一条对角线，直径AB⊥CD于E，B在C⌒F上，在C⌒D上，在M⌒D上；CD＜CF＜CD＜MD。CB是弦MD对应弧上一段弧的对应弦。
（2）∵AE=16，BE=4，CE=DE=CD/2，CD=2CE，
CE•DE=AE•BE（相交弦定理），
∴CE²=16×4=8²，CE=8，DE=8，
CD=2CE=16，
CD=16。
（3）∵MD=AB=AE+BE=16+4=20，DO=MD/2=10，DE=8，
∴cos∠D=DE/DO=8/10=4/5，
∴∠D=36.87°。

23.如图1,在 ⊙O 中,AB为弦,CD为直径,且 AB⊥CD 于点E,过点B作 BF⊥AD,交

(1) 因为 AB ⊥ CD，所以 AE = EB。由于 AD 是 AB 的延长线，所以 AD > AB，所以 AD > 2AE。又因为 CD 是 ⊙O 的直径，所以 $\angle CAD=90^{\circ}$，$\angle CEA=90^{\circ}-\angle CAE$，$\angle FAD=90^{\circ}$，$\angle BAF=90^{\circ}-\angle AEB=90^{\circ}-\angle CAE$，$\angle ABO=90^{\circ}$。因此，∠���=∠���∠���=∠���+∠���=90∘+∠���=90∘+(∠���−90∘)=∠���.∠CAE∠ADC​ =∠CEA=∠CAD+∠FAD=90 ∘ +∠BAF=90 ∘ +(∠CAE−90 ∘ )=∠CAE.​ 因此，$\angle CAE=\angle ADC$。(2) 由于 AB ⊥ CD，所以 $\angle AEB=90^{\circ}$。由 BF ⊥ AD，所以 $\angle AFB=90^{\circ}$。又因为 $\angle AEB=\angle AFB$，所以 $\triangle AEB \cong \triangle AFB$，从而得到 $AE=AF$。又因为 $\triangle CDE$ 是直角三角形，所以 $\angle CED=90^{\circ}$，所以 $ED=2OE$，即 $OE=\frac{1}{3}CD$。因此，��=��−��=��−��=��−��=��−12��=��−2��=��−2×13��=13��.DF​ =AD−AF=AD−AE=AD−EB=AD− 21​ CD=AD−2OE=AD−2× 31​ CD= 31​ AD.​ 因此，$\frac{DF}{DE}=\frac{\frac{1}{3}AD}{2OE}=\frac{AD}{6OE}=\frac{AD}{2CD}$。又因为 $\triangle【摘要】23. 如图1, 在⊙O中, AB为弦, CD为直径, 且AB⊥CD于点E, 过点B作BF⊥AD, 交AD的延长线于点F. 连接AC, BO.​(1) 求证: ∠CAE=∠ADC.​(2) 若DE=2OE, 求DF/DE的值.​(3) 如图2, 若BO的延长线与AC的交点G恰好为AC的中点, 若⊙O的半径为r, 求图中阴影部分的面积(结果用含r的代数式表示).【提问】(1) 因为 $AB \perp CD$，所以 $AE = EB$。由于 $AD$ 是 $AB$ 的延长线，所以 $AD > AB$，所以 $AD > 2AE$。又因为 $CD$ 是 $\odot O$ 的直径，所以 $\angle CAD=90^{\circ}$，$\angle CEA=90^{\circ}-\angle CAE$，$\angle FAD=90^{\circ}$，$\angle BAF=90^{\circ}-\angle AEB=90^{\circ}-\angle CAE$，$\angle ABO=90^{\circ}$。​因此，$\angle CAE=\angle ADC$。​(2) 由于 $AB \perp CD$，所以 $\angle AEB=90^{\circ}$。由 $BF \perp AD$，所以 $\angle AFB=90^{\circ}$。又因为 $\angle AEB=\angle AFB$，所以 $\triangle AEB \cong \triangle AFB$，从而得到 $AE=AF$。又因为 $\triangle CDE$ 是直角三角形，所以 $\angle CED=90^{\circ}$，所以 $ED=2OE$，即 $OE=\frac{1}{3}CD$。​因此，$\frac{DF}{DE}=\frac{\frac{1}{3}AD}{2OE}=\frac{AD}{6OE}=\frac{AD}{2CD}$。​又因为 $\triangle"【回答】【回答】【回答】【回答】