有基

简述

在线性代数中，

基

(basis)（也称为

基底

）是描述、刻画向量空间的基本工具。向量空间的基是它的一个特殊的子集，基的元素称为

基向量

。向量空间中任意一个元素，都可以唯一地表示成基向量的线性组合。如果基中元素个数有限，就称向量空间为有限维向量空间，将元素的个数称作向量空间的

维数

。

使用基底可以便利地描述向量空间。比如说，考察从一个向量空间射出的线性变换f，可以查看这个变换作用在向量空间的一组基上的效果。掌握了，就等于掌握了f对中任意元素的效果。

不是所有空间都拥有由有限个元素构成的基底。这样的空间称为无限维空间。某些无限维空间上可以定义由无限个元素构成的基。如果承认选择公理，那么可以证明任何向量空间都拥有一组基。一个向量空间的基不止一组，但同一个空间的两组不同的基，它们的元素个数或势（当元素个数是无限的时候）是相等的。一组基里面的任意一部分向量都是线性无关的；反之，如果向量空间拥有一组基，那么在向量空间中取一组线性无关的向量，一定能将它扩充为一组基。在内积向量空间中，可以定义正交的概念。通过特别的方法，可以将任意的一组基变换成正交基乃至标准正交基。

定义

给定一个向量空间。的一组

基B

是指里面的可线性生成的一个线性无关子集。B的元素称为

基向量

。

更详细来说，设是在系数域F（比如实数域R或复数域C）上的向量空间V的有限子集。如果 满足下列条件：

对任意，如果，则必然；

对任意，可以选择，使得 。

就说B 是向量空间 的一组

基

。第二个条件中，将一个向量表示成的形式，称为向量 v在基底 下的分解。称为向量v在基底B下的分量表示。

有有限基的向量空间叫做有限维的空间。要处理无限维的空间，必须把上述基的定义推广为包括无限的基集合。如果向量空间V的一个子集 (有限或无限B满足：

它的所有有限子集满足上面的第一个条件（即线性无关）；

对任意，可以选择，以及，使得 。

就称B是无限维空间的一组基。

没有装备拓扑结构的向量空间的结构不足以谈论向量的无限和，因此上述定义只包括对有限个向量求和。

性质

设B是向量空间的子集。则B是基，当且仅当满足了下列任一条件：是B的极小生成集，就是说只有B能生成，而它的任何真子集都不能生成全部的向量空间。

B是中线性无关向量的极大集合，就是说B在中是线性无关集合，而且中没有其他线性无关集合包含它作为真子集。中所有的向量都可以按唯一的方式表达为B中向量的线性组合。如果基是有序的，则在这个线性组合中的系数提供了这个向量关于这个基的坐标。

如果承认良序定理或任何选择公理的等价物，那么作为推论，可以证明任何的向量空间都拥有一组基。（证明：良序排序这个向量空间的元素。建立不线性依赖于前面元素的所有元素的子集。它就是基）。反过来也是真的。一个向量空间的所有基都拥有同样的势（元素个数），叫做这个向量空间的维度。这个结果叫做维度定理，它要求系统承认严格弱形式的选择公理即超滤子引理。

例子

考虑所有坐标 (a,b)的向量空间R，这里的a和b都是实数。则非常自然和简单的基就是向量和:假设是R中的向量，则。而任何两个线性无关向量如 (1,1)和，也形成R的一个基。

更一般的说，给定自然数n。n个线性无关的向量可以在实数域上生成R。因此，它们也是的一个基而R的维度是n。这个基叫做R的标准基。

设V是由函数e和e生成的实数向量空间。这两个函数是线性无关的，所有它们形成了V的基。

设指示所有实数多项式的向量空间；则是的基。的维度因此等于。基的扩张

如上所述，一个向量空间的每一组基都是一个极大的线性无关集合，同时也是极小的生成集合。可以证明，如果向量空间拥有一组基，那么每个线性无关的子集都可以扩张成一组基（也称为基的扩充定理），每个能够生成整个空间的子集也必然包含一组基。特别地，在任何线性无关集合和任何生成集合之间有一组基。以数学语言来说：如果L是在向量空间 中的一个线性无关集合而集合G是一个包含L而且能够生成的集合，则存在的一组基B，它包含了L而且是G的子集 。

以上两个结论可以帮助证明一个集合是否是给定向量空间的基。如果不知道某个向量空间的维度，证明一个集合是它的基需要证明这个集合不仅是线性无关的，而且能够生成整个空间。如果已知这个向量空间的维度（有限维），那么这个集合的元素个数必须等于维数，才可能是它的基。在两者相等时，只需要证明这个集合线性无关，或这个集合能够生成整个空间这两者之一就够了。这是因为线性无关的子集必然能扩充成基；而这个集合的元素个数已经等于基的元素个数，需要添加的元素是0个。这说明原集合就是一组基。同理，能够生成整个空间的集合必然包含一组基作为子集；但假如这个子集是真子集，那幺元素个数必须少于原集合的元素个数。然而原集合的元素个数等于维数，也就是基的元素个数，这是矛盾的。这说明原集合就是一组基。

有序基和坐标

基底是作为向量空间的子集定义的，其中的元素并不按照顺序排列。为了更方便相关的讨论，通常会将基向量进行排列。比如说将：写成有序向量组 。这样的有序向量组称为

有序基

。在有限维向量空间和可数维数的向量空间中，都可以自然地将基底表示成有序基。在有序基下，任意的向量都可以用确定的数组表示，称为向量的坐标。例如，在使用向量的坐标表示的时候习惯谈论“第一个”或“第二个”坐标，这只在指定了基的次序前提下有意义。在这个意义下，有序基可以看作是向量空间的坐标架。

设是在域F上的n维向量空间。在上确定一个有序基等价于确定一个从坐标空间到的一个选定线性同构。

证明：这个证明利用了的标准基是有序基的事实。

首先假设

是线性同构。可以定V的一组有序基如下：其中的是的标准基。

反过来说，给定一个有序基，考虑如下定义的映射

,

这里的是

F

的一个元素。不难检查出φ是线性同构。

这两个构造明显互逆。所以V的有序基一一对应于线性同构。

确定自有序基线性映射φ的逆映射为V装备了坐标：如果对于向量，则的分量是v的坐标，在的意义上。

从向量v到分量的映射是从V到

F

的线性映射，因为φ是线性的。所以它们是线性泛函。它们形成V的 对偶空间的基，叫做对偶基。