库默尔

库默尔扩张和分圆域则是阿贝尔扩张的两个重要类型。一个阿贝尔扩张K/k称为库默尔扩张，指的是存在一个正整数m使得:①域k的特征ch(k)不能整除m，而且 k包含m次本原单位根ζ；②K/k的伽罗瓦群 Gal(K/k)的每个元素的阶整除 。此时K/k又特别称为指数是m的库默尔扩张。以下考虑的都是在一个给定的满足条件①的基域k上的一切指数为m的库默尔扩张。用k*表示k中非零元素乘法群，用km表示k*中元素的m次幂构成的子群。

库默尔扩张的子扩张是库默尔扩张。任意多个库默尔扩张的复合域还是库默尔扩张。

在域k满足条件①的前提下，则在k上添加k*的一个元素α 的m 次根而得到根扩张

库默尔扩张

是一个指数为m的库默尔扩张，而且Gal(K/k)是一个循环群。反之，任一指数为m 的循环库默尔扩张K/k是一个根扩张K=k(θ)，

库默尔扩张

,而且θ可由拉格朗日的预解式求得。设【K:k】=n,Gal(K/k)=〈σ〉,α为K的任一个本原元素。ξ为k中任一个n次本原单位根，于是预解式

库默尔扩张

中任一个非零的θυ都可取作θ。但θ的取法不是惟一的。

任一库默尔扩张K/k是一些循环库默尔扩张

库默尔扩张

的复合域，其中α取遍k*的一个子集S 的元素。K确定K*的一个子群

库默尔扩张

,则K=k(

P

),

库默尔扩张

。子群

P

由这些条件惟一确定。令h=

P

m，

库默尔扩张

表示所有根扩张

库默尔扩张

（其中 α∈h）的复合域，则有

库默尔扩张

库默尔扩张

子群h由上述条件惟一决定。反之，给定k*的一个子群h′使得km嶅h′，则

库默尔扩张

是k上的一个库默尔扩张。令

库默尔扩张

,则

库默尔扩张

这样,k上库默尔扩张K 和k*的包含km的子群h成一一对应，而且对应关系由

库默尔扩张

确定。

设K/k为任一库默尔扩张,G=Gal(K/k)而且设

P

和h定义如上。对于σ∈G,λ∈

P

,有

库默尔扩张

定义映射G×

P

→如下：

库默尔扩张

它满足①(στ,λ)=(σ,λ)(τ,λ)，②(σ,λβ)=(σ,λ)(σ,β)，③(σ,

P

)=1匔σ=1,④(G,λ)=1匔λ∈k*,每个σ∈G确定

P

的一个特征ⅹσ 使得ⅹσ(λ)＝(σ，λ)。而且Ker(ⅹσ)払k*，因而ⅹσ诱导出商群

P

/k*的一个特征。反之,

P

/k*的每个特征ⅹ可以提升为

P

的一个特征ⅹ′使得Ker(ⅹ′)払k*，而且ⅹ′决定

P

的一个自同构 λ

库默尔扩张

ⅹ′(λ)·λ,并且保持 k*的元素不动，这个自同构可以开拓成库默尔扩张K的一个k自同构。所以

库默尔扩张

，其中

库默尔扩张

表示

P

/k*的特征群。另一方面,

P

到h 的幂映射α

库默尔扩张

αm诱导出同构

库默尔扩张

，最后得

库默尔扩张

。这个同构可以由双线性映射G×h→：

库默尔扩张

来实现，即每个σ∈G 映到h 的特征

库默尔扩张

特别，若K/k是有限库默尔扩张，则有

库默尔扩张

E.阿廷和O.施赖埃尔推广了库默尔扩张的理论。设k为一个特征p>0的域，若K/k是阿贝尔扩张，其伽罗瓦群的指数是p，则称K/k是指数为p的阿贝尔扩张，或阿廷-施赖埃尔扩张。令 β(X)表示Xp-X,β-1(α)表示多项式β(X)-α 的任一根。令β(k)={β(α)｜α∈k},则β(k)是加法群k的一个子群。多项式β(X)-α在k上不可约的充分必要条件是α∈k，但α唘β(k)。

设K/k为一个p次阿贝尔扩张,Gal(K/k)=〈σ〉。则存在一个元素α∈K使得

库默尔扩张

令

库默尔扩张

则K=k(θ)，θ为

库默尔扩张

的一根。反之，设α∈k但α唘β(k)，则β(X)- α在k上的分裂域是k上一个p次阿贝尔扩张。

设K/k 是任一指数为p 的阿廷-施赖埃尔扩张，G=Gal(K/k)。则K是一?I>p次阿廷-施赖埃尔扩张k(β-1(α))的复合域，α∈S嶅k，S为 k的一个子集。令T={α∈K｜β(α)∈k},则T为K的一个加法子群，而且K=k(T),β(T)嶅k嶅T。令N=β(T)，则N 为k 的一个加法子群。令k(β-1(N))表示 k(β-1(α))（其中α∈N）的复合域，则有K=k(β-1(N))，β(k)嶅N嶅k。反之，设N′为k的一个加法子群，且β(k)嶅N,则K′=k(β-1(N′))是一个指数p的阿廷-施赖埃尔扩张。总之,k上指数p 的阿廷-施赖埃尔扩张和k中包含β(k)的加法子群N 成一一对应，而且对应关系由下式确定：K=k(β-1(N))。

设K/k 为任一指数 p 的阿廷－施赖埃尔扩张，G=Gal(K/k)，T、N定义如上，并设Fp为特征p的素域，定义G×T 到Fp的映射(σ,α)=σ(α)-α。这是一个双线性映射，而且(σ,T)=0匔σ=1，(G,α)=0匔α∈k。每个σ∈G确定T的一个特征

库默尔扩张

又诱导出商群T/k的一个特征。

反之，T/k的每个特征ⅹ可提升为T的一个特征ⅹ┡。ⅹ┡决定T 的一个自同构α

库默尔扩张

α+ⅹ┡(α)。这个自同构可以开拓成K的一个k自同构。所以

库默尔扩张

。T 到N 的同态映射 α

库默尔扩张

β(α)诱导出同构 T/k≌ N/β(k)。于是

库默尔扩张

库默尔扩张

库默尔扩张

。这个同构可由双线性映射G ×N→Fp： (σ,α)=(σ-1)β-1(α)来实现，即每个σ∈G决定N/β(k)的一个特征

库默尔扩张

E.维特引进了一个特征p>0的域k上的向量运算，从而得到维特向量环。E.维特利用这个向量环将E.阿廷和O.施赖埃尔关于指数p的阿廷-施赖埃尔扩张理论推广到任意指数pe(e≥1)的阿廷-施赖埃尔扩张上去。

关于数域上的库默尔扩张的算术理论，在这里仅介绍一个最简单的情况。设k为一个数域，而且包含一个素数l次本原单位根ζ,又设

库默尔扩张

，但

库默尔扩张

，P是k的一个素理想。P在K中的分解只有三种情况：P在K中仍然保持为素理想，称之为惰性的；或者P在K中等于一个素理想的l次幂，称之为分歧的；或者P在K中分解成l个不同素理想的积，称之为分裂的。设主理想(α)含P的方幂为Pe。于是有下列结果：

若l凲e，则P在K中分歧；若l｜e但P凲( l),则P在K内不分歧，此时可将α化为e=0的情况，于是，若还有同余式Xc(n)呏α(modP)在k内有解，则P在K中分裂，否则P在K中为惰性的；设l｜e,且P｜(l)。此时首先将α化为e=0的情况。设主理想(1-ζ)含素因子P的方幂为Pr,则有：①若同余式

库默尔扩张

在k中有解，则P在K内分裂。②若

库默尔扩张

在k中无解，但

库默尔扩张

在k中有解，则P在K内是惰性的。③若

库默尔扩张

在k中无解，则P在K内分歧。