双纽线图像

定义

在平面内取一个定点O，叫极点，引一条射线Ox，叫做极轴，再选定一个长度单位和长度的正方向（通常取从极点向无穷远方向）以及角度的正方向（通常取逆时针方向）。对于平面内任何一点M，用ρ表示有向线段OM的长度，用ρ'表示有向线段MO的长度（此时ρ'为负），θ表示从Ox到OM（或MO）的角度，ρ、ρ'叫做点M的极径，θ叫做点M的极角，有序数对 (ρ,θ)、(ρ',θ)就叫点M的极坐标，这样建立的坐标系叫做太极坐标系。

来源

第一个用极坐标来确定平面上点的位置的是牛顿。他的《流数法与无穷级数》，大约于1671年写成，出版于1736年。此书包括解析几何的许多应用，例如按方程描出曲线。书中创建之一，是引进新的坐标系。17甚至18世纪的人，一般只用一根坐标轴（x轴），其y值是沿着与x轴成直角或斜角的方向画出的。牛顿所引进的坐标之一，是用一个固定点和通过此点的一条直线作标准，例如我们使用的极坐标系。牛顿还引进了双极坐标，其中每点的位置决定于它到两个固定点的距离。由于牛顿的这个工作直到1736年才为人们所发现，而瑞士数学家J.贝努利于1691年在《教师学报》上发表了一篇基本上是关于极坐标的文章，所以通常认为J.贝努利是极坐标的发现者。J.贝努利的学生J.赫尔曼在1729年不仅正式宣布了极坐标的普遍可用，而且自由地应用极坐标去研究曲线。他还给出了从直角坐标到极坐标的变换公式。确切地讲，J.赫尔曼把cosθ,sinθ当作变量来使用，而且用n和m来表示cosθ和sinθ。欧拉扩充了极坐标的使用范围，而且明确地使用三角函数的记号；欧拉那个时候的极坐标系实际上就是现代的极坐标系。

有些几何轨迹问题如果用极坐标法处理，它的方程比用直角坐标法来得简单，描图也较方便。1694年，J.贝努利利用极坐标引进了双纽线，这曲线在18世纪起了相当大的作用。

在极坐标中，x被ρcosθ代替，y被ρsinθ代替。

极坐标系是一个二维坐标系统。该坐标系统中的点由一个夹角和一段相对中心点——极点（相当于我们较为熟知的直角坐标系中的原点）的距离来表示。极坐标系的应用领域十分广泛，包括数学、物理、工程、航海以及机器人领域。在两点间的关系用夹角和距离很容易表示时，极坐标系便显得尤为有用；而在平面直角坐标系中，这样的关系就只能使用三角函数来表示。对于很多类型的曲线，极坐标方程是最简单的表达形式，甚至对于某些曲线来说，只有极坐标方程能够表示。

中国学者L在2006年用假设宇宙为3维超球面的模型研究类星体时，意识到用极坐标系来描述大尺度时空视界模型更方便，但同时发现现有极坐标系存在许多问题。后续受太极图启发，在2010年用类似添加负整数以扩充自然数系至整数系的方法，通过定义极径为有向线段从而自然的扩充了极坐标系，并命名为“太极坐标系”。

太极坐标系如何表示点

太极坐标

正如所有的二维坐标系，太极坐标系也有两个坐标轴：r（径坐标）和θ（角坐标、极角或方位角，有时也表示为φ或t）。r坐标表示与极点的有向线段长度，θ坐标表示按逆时针方向坐标距离0°射线（极轴）的角度，极轴就是在平面直角坐标系中的x轴正方向。

比如，太极坐标系中的（3,60°）表示了一个以极点为起点且距离极点3个单位长度、和极轴夹角为60°的点。（?3,60°）和（3,60°）表示了同一点，只是（?3,60°）所对应的有向线段以极点为终点。

太极坐标系中一个重要的特性是，平面直角坐标系中的任意一点，可以在太极坐标系中有无限种表达形式。通常来说，点（r，θ）可以任意表示为（r，θ ± 2kπ）但不能表示为（?r，θ ± (2k+ 1)π），这里k是任意整数。如果某一点的r坐标为0，那么无论θ取何值，该点的位置都落在了极点上。

使用弧度单位

太极坐标系中的角度通常表示为角度或者弧度，使用公式2π rad=360°.具体使用哪一种方式，基本都是由使用场合而定。航海（en:Navigation）方面经常使用角度来进行测量，而物理学的某些领域大量使用到了半径和圆周的比来作运算，所以物理方面更倾向使用弧度。

两坐标系转换

太极坐标系中的两个坐标r和θ可以由下面的公式转换为直角坐标系下的坐标值

由上述二公式，可得到从直角坐标系中x和y两坐标如何计算出太极坐标系下的坐标：

这里尤其需要注意的是，在传统极坐标系的定义下，r不含负号，所以极坐标与直角坐标间即使是在一个周期内也不能一一对应，只有考虑负号的太极坐标系才能建立起这种完整的对应关系。

太极坐标方程

用太极坐标系描述的曲线方程称作太极坐标方程，通常用来表示ρ为自变量θ的函数。

太极坐标方程经常会表现出不同的对称形式。如果ρ(?θ）=ρ（θ），则曲线关于极轴对称。如果ρ（θ?α）=ρ（θ），则曲线相当于从极点逆时针方向旋转α°。

函数图像

为了更直观的表示出极径的取值，以下图像均以偏红色表示正（等价于极点为有向线段起点），偏蓝色表示负（等价于极点为有向线段终点），具体对应关系见图像右侧色值对应条。

常函数

r=k（圆）

圆

右图“圆”为函数 r=1(-π<θ<π) 的图像

一次函数

r=kθ+b（含阿基米德螺线）

右图“心形线”为函数 r=θ(-π<θ

心形线

右图“阿基米德螺线”为函数 r=θ(0<θ

阿基米德螺线

三角函数（含直线、圆、

玫瑰线

）

太极坐标系尤其适合用于表示周期性函数，如三角函数。在太极坐标系下，一个新的却又似曾相识的、联系的、对称的、和谐的、统一的函数图像世界跃然眼前！

1、

正弦三角函数

r=a*sin(n*θ)（玫瑰线）

右图“三角心形线”为函数 r=sin(0.5*θ) (-π<θ

三角心形线

右图“二叶玫瑰线”为函数 r=sin(1.0*θ) (-π<θ

二叶玫瑰线

右图“三叶玫瑰线”为函数 r=sin(1.5*θ) (-π<θ

三叶玫瑰线

右图“四叶玫瑰线”为函数 r=sin(2*θ) (-π<θ

四叶玫瑰线

右图“五叶玫瑰线”为函数 r=sin(2.5*θ) (-π<θ

五叶玫瑰线

右图“六叶玫瑰线”为函数 r=sin(3.0*θ) (-π<θ

六叶玫瑰线

六叶玫瑰线是存在的，只是传统极坐标系的定义有缺陷，就像自然数不包含负数一样。

上面罗列了六条正弦三角玫瑰线，是为了更直观的显示出玫瑰线的规律。

在太极坐标系下玫瑰线的叶数L与系数n之间的关系为L=2n（2n为自然数），这里统一了在传统极坐标系下n需要分奇偶数进行讨论的各种情况，即使n为分数也成立。传统极坐标系下不存在的二叶玫瑰线、六叶玫瑰线等曲线得以存在。同时也更自然的建立起了圆与玫瑰线之间的关系。

2、余弦三角函数 r=a*cos(n*θ)（玫瑰线）

与正弦三角函数类似，只是作了90°旋转，此处略

3、

正切

三角函数 r=a*tan(n*θ)（？线）

右图“tan0.5”为函数 r=tan(0.5*θ) (-π<θ

tan0.5

右图“tan1.0”为函数 r=tan(1.0*θ) (-π<θ

tan1.0

右图“tan1.5”为函数 r=tan(1.5*θ) (-π<θ

tan1.5

4、余切三角函数（？线） r=a*cot(n*θ)

与正切三角函数类似，只是作了90°旋转，此处略

5、

正割

三角函数（？线） r=a*sec(n*θ)

右图“sec0.5”为函数 r=sec(0.5*θ) (-π<θ

sec0.5

右图“sec1.0”为函数 r=sec(1.0*θ) (-π<θ

sec1.0

右图“sec1.5”为函数 r=sec(1.5*θ) (-π<θ

sec1.5

6、

余割

三角函数（？线） r=a*csc(n*θ)

与正割三角函数类似，只是作了90°旋转，此处略。

进一步探讨三角函数

接下来考虑分数情况，并将图像绘制在同一张图上，以便清晰的展现函数图像随参数变化的规律。

1、正弦三角函数 r=a*sin((n/m)*θ)

右图“分数正弦”为函数 r=sin((n/m)*θ) (-π<θ

分数正弦

2、

余弦

三角函数 r=a*sin((n/m)*θ)

右图“分数余弦”为函数 r=cos((n/m)*θ) (-π<θ

分数余弦

3、正切三角函数 r=a*sin((n/m)*θ)

右图“分数正切”为函数 r=tan((n/m)*θ) (-π<θ

分数正切

4、

余切

三角函数 r=a*cot((n/m)*θ)

右图“分数余切”为函数 r=cot((n/m)*θ) (-π<θ

分数余切

5、正割三角函数 r=a*sec((n/m)*θ)

右图“分数正割”为函数 r=sec((n/m)*θ) (-π<θ<π) 的图像

6、余割三角函数 r=a*csc((n/m)*θ)

右图“分数余割”为函数 r=csc((n/m)*θ) (-π<θ

分数正割

分数余割

三角函数合集

右图“三角函数合集”为以上六种三角函数图像的叠加，在此不得不惊叹三角函数的对称！数学的自然之美！若是要用一句话来形容。我唯一想到的是：

“那难道不是出自上帝之手吗？”

三角函数合集

对数函数

右图“对数函数”为函数 r=ln(θ) (-π<θ

对数函数

更多函数图像，略。图像对比

函数及其图像

右图“函数及其图像”为常见初等函数在不同坐标系中的图像对比。

包括笛卡尔直角坐标系、太极坐标系、极坐标系、极坐标系（当规定极径为不能为负的情况，可命名为半极坐标系）

在k=3的正弦函数中能够最明显的看到传统极坐标系的残缺。事实上，此时的极坐标系即使在一个周期内且允许极径取负值，也没能建立起与直角坐标系间的一一对应关系，是不完备的。这极大限制了极坐标系的应用。

传统极坐标系中的函数图像由于当因变量为负时改变自变量，导致一个周期内同一自变量对应两个因变量。若要更准确的表示出这种改变在笛卡尔直角坐标系中的对应关系，以k=3的正弦函数为例，见右图“三种极坐标对应的直角坐标”所示。

三种极坐标对应的直角坐标

如果说传统极坐标也允许极径为负，那么它的问题的关键就在于不应该通过改变作为自变量的极角来处理这种情况。这是导致诸多不对称、不统一的根源。应用

行星运动的开普勒定律：

开普勒第一定律：太阳系中的所有行星围绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在所有椭圆的一个焦点上。

开普勒第二定律：太极坐标提供了一个表达开普勒行星运行定律的自然数的方法。开普勒第一定律，认为环绕一颗恒星运行的行星轨道形成了一个椭圆，这个椭圆的一个焦点在质心上。上面所给出的二次曲线部分的等式可用于表达这个椭圆。开普勒第二定律，即等域定律，认为连接行星和它所环绕的恒星的线在等时间间隔所划出的区域是面积相等的，即ΔA/Δt是常量。这些等式可由牛顿运动定律推得。

意义

太极坐标系启示我们可以用一种更统一的方式重新建立数学知识的结构。

在讲函数及其图像的时候可以同时考虑笛卡尔直角坐标系、极坐标系(甚至可以区分含与不含负极径两种情况)、太极坐标系等。这样可以更直接的建立知识间的联系，将零星散乱的“其他”已知或未知的“重要曲线”纳入到一个统一的框架中。

现有的数学教材与工具书均应该用这种方式重写。