公孙胜

（同一个数学结果，不同数学方法解题）

光线的频率和传播的方向在洛伦兹变换下分别按如下公式变换：

ν'=(1－v·cosθ/c)(1－v /c )cosθ'=(cosθ－v/c)(1－v·cosθ/c)

式中ν和ν'分别为在K系和K'系中测得的光波频率，θ和θ'为光线的传播方向分别与x轴和x'轴的正方向之间的夹角。当θ=90°（即垂直于光线方向）时，

ν'=v/(1－v /c )

这就是横向多普勒效应（牛顿经典物理学没有这种效应）。横向（或二阶）多普勒效应实际上来自时间膨胀效应，它们已被很多实验直接证实。

洛伦兹变换率假设

考虑放在K'系x'轴上的一根长杆，其长度称为固有长度l≡x′。但在K系看来，这根杆子是运动的，运动杆子的长度定义为同时（即时间间隔t=0）测量杆子的两端所获得的空间坐标间隔。此时，洛伦兹变换给出：l≡x，运动杆子的长度变短了(l

《狭义相对论》

牛顿力学在狭义相对论下的数学表达式：修改了速度数据，必须修正质量数据，才能保证F=ma；修改了质量数据，动量、动能数据注定要改写。

按照狭义相对性原理，力学定律在洛伦兹变换下保持形式不变。为此，牛顿力学第二定律

F

a

F

p

p

u

u

类似地，物体的能量分为固有能量E和相对论能量（总能量）E。动能K是总能与固有能量之差：K=E－E。能量与质量之间的关系式简称为质能关系，即：

E=mc

E=mc

动量、总能量、静质量可组成下面的不变量（即在洛伦兹变换下保持不变）：

pc －E=－mc

在洛伦兹变换下动量

p

r

p'=1/(1－v /c ) (p－vE/c )

p'=p

p'=p

E'=1/(1－v /c ) (E－vp)

物理系统在一般洛伦兹变换下的不变性给出轨道角动量和自旋角动量守恒律；在时空平移变换下的不变性给出能量－动量守恒律。

洛伦兹变换率的假设，本身就已经假设了极限速度

由质能关系和质速关系可知，如果静质量不为零的物体以光速c运动，则它的能量为无穷大。也就是说，把这样的物体加速到光速需要做的功为无穷大，但这是不可能的。因此，通常物体的速度只能接近而不可能达到真空光速，即光速c是物质的极限速度。

光子在真空中的速度永远是c，如果把它当成经典粒子，则由质速关系可知其静质量必须是零；而且，一切以光速c运动的物质其静质量也必定是零。在现实世界，通过大量的光学和电磁学的高精度实验和分析，仍没有发现光子有静质量存在。

狭义相对论中，一维时间和三维空间构成闵可夫斯基四维平直时空，其度规可取为g=(－1,1,1,1)，任意两个物理事件的四维间隔的平方写为：

(Δs)=－c (Δt) +(Δx) +(Δy) +(Δz)

四维间隔的平方只有三种类型：(Δs) 0是类空间隔。相应的物理事件分别称为类时事件、类光事件、类空事件。如果两个物理事件代表的是某一物质的运动，它们分别是亚光速运动、光速运动、超光速运动。四维间隔在洛伦兹变换下保持不变，因而这三类不同类型的运动不会通过坐标变换而互相转化。如亚光速运动不可能变为超光速运动；反之亦然。

按照狭义相对论，静质量为正实数的通常物质其运动速度一定小于光速c，这类物质称为亚光速物质（或亚光速粒子），它们的全体称为亚光速世界。狭义相对论也允许超光速世界的存在，其中所有物质的速度都超过光速c，这类物质（或粒子）称为快子，其静质量是虚数（其平方小于零）。物理学家曾经设计过许多实验，但都没有发现快子的踪迹。如果在亚光速世界里能够出现快子，就会有违反因果律的现象发生：考虑在某一给定惯性系中的第一点发生了第一个物理事件，同时有一个超光速信号把这个信息传送到第二点而触发了第二个事件，我们说这两个事件具有因果联系且满足因果律：“原因”（第一个事件）在“结果”（第二个事件）之前发生。但按照洛伦兹变换，总能找到另外一些惯性系，在这些惯性系中“结果”（第二个事件）是在“原因”（第一个事件）之前出现的。因此，在狭义相对论中因果律排除了超光速信号的存在。

考虑三个惯性系K、K'、K''，其中K、K'的坐标轴互相平行因而它们之间是无转动的洛伦兹变换；类似地，K、K''的坐标轴也互相平行因而它们之间也是无转动的洛伦兹变换。但是，K'、K''之间则是有转动的洛伦兹变换，即K''和K的坐标轴不再互相平行而是存在一个空间转动，这种转动称为维格纳转动（经典物理学中的伽利略变换没有这类效应）。1927年L.托马斯首先把这种运动学效应应用于电子在原子核电场中作闭合轨道运动的情况，发现电子的磁矩在运动中会产生进动，这种进动后来被称为托马斯进动。考虑了托马斯进动之后，原子光谱的精细结构分裂和反常塞曼效应就可同时得到圆满解释。托马斯进动效应还表现在电子和μ子在均匀磁场中做圆周运动时其自旋的进动频率：

ω=[(g－2)/2]eB/(mc)+ω

式中(g－2)因子相应于反常磁矩，e为电荷，m为静质量，B为磁感应强度，c为光速，ω=eB/(γmc)是圆周运动的回旋频率，其中：

γ=1/(1－v /c )

多年来进行的电子和μ子的(g－2)因子的实验测量结果与上面的理论预言在极高精度上相符合。

时间膨胀效应表明，运动时，钟的速率将变慢。由于惯性系之间没有哪一个更特殊，对于K和K'这两个彼此作相对运动的惯性系来说，哪一个在运动，这完全是相对的。因而，似乎出现了这样一个问题：K系中的观察者认为K'系中的时钟变慢了，而K'系中的观察者又会认为K系中的时钟变慢了，即两个观察者得到的是互相矛盾的结论。这就是所谓的“时钟佯谬”问题。

如果把这个问题应用于假想的宇宙航行，就会给出这样一个结果：有两个孪生子，一个乘高速飞船到远方宇宙空间去旅行，另一个则留在地球上。经过若干年，飞船重新返回到地球之后，地球上的那个孪生子认为乘飞船航行的孪生兄弟比他年轻；而从飞船上那个孪生子的观点看，又好像地球上的孪生兄弟年轻了。这显然是互相矛盾的。所以，这种现象通常又称为“孪生子佯谬”或“孪生子悖论”。

在解释这种佯谬时候，为了突出问题的实质，可以这样来比较两只钟，一只钟固定在一个惯性系中，另一只钟则相对于这个惯性系作往返航行，如同在“孪生子佯谬”中乘宇宙飞船的孪生兄弟那样。通过研究在往返航行的钟回来的时候，它的指针所显示的经历时间（也就是这个钟所经历的固有时间间隔）和固定钟的指针所显示的经历时间（也就是固定钟所经历的固有时间间隔）相比，到底哪一个更长。显然，经历的固有时间间隔小的钟，相当于年龄增长慢的那一个孪生子。可以发现，不能简单地套用前面写出的那个洛伦兹变换，因为往返航行的钟并不是始终静止于同一个惯性系之中，而是先静止在一个惯性系（向远处飞去），后来又经历加速（或减速）转而静止在另一个惯性系（远处归来），而它的“孪生兄弟”即另外那一只钟则始终静止在一个惯性系中。由此可见，往返航行的钟和静止的钟的地位并不是等价的。其深层原因是两个孪生兄弟在闵可夫斯基时空图中的世界线是不相同的，这就反驳了“孪生子佯谬”。

具体地说，哪一只走得更慢一些，有人认为，要解决这个问题，必须应用广义相对论，因为有加速或减速过程。但是，实际上这个问题可以在狭义相对论范围内圆满解决。如果加速过程对时钟速率不产生影响（实验证明加速或减速过程对时钟的速率没有影响），考虑到作往返运动的时钟经历了不同的惯性系，因而还必须考虑到不同地点的同时性问题，那么，不论在哪个惯性系中计算，狭义相对论都给出同样的结果，即往返航行的时钟变慢了。也就是说，在“孪生子佯谬”问题中，宇宙航行的孪生子比留在地球上的孪生兄弟年轻。

关于双生子悖论也不必要如此麻烦，这里告诉读者一个很简单的方法，同样还是运用闵氏几何，做出相应的图像，很容易得到正确的说法，同样可以参考上面提到的三位教授的书。

验证狭义相对论的实验大体上分为六大类：

①相对性原理的实验检验

②光速不变原理的实验检验

③时间膨胀实验

④缓慢运动媒质的电磁现象实验

⑤相对论力学实验

⑥光子静止质量上限的实验

关于相对性原理的实验检验，电动力学和光学的很多例子，特别是运动物体的电磁感应现象，都是很有说服力的，不再赘述，着重说明其余五大类的验证实验。

首先，同光速不变原理有关的大量实验已经证明，真空中光速同光源的运动速度和惯性运动状态无关。定量的测量表明，真空中平均回路光速с是一个常数，约为每秒30万千米（с的精确测量值见基本物理常数）。这类实验中，最著名的是迈克耳孙－莫雷实验。这个实验是在相对论出现之前很久的1881年首先由A.迈克耳孙完成的。1887年迈克耳孙和E.莫雷又用干涉仪以更高的精度重新做了观测。这个实验的目的是测量地球相对于以太的运动速度。但实验结果同以太论的预言相矛盾。狭义相对论建立之后，这个实验就被看成是光速不变原理和狭义相对性原理以及否定以太论的重要实验基础。还要说明一点，现有的实验（包括迈克耳孙－莫雷实验）并没有证明光速是否同方向无关。引入光速同方向无关的假定是为了定义不同地点的事件的同时性，在没有其他方法确定这种同时性之前，光速是否同方向无关是无法用实验判断的。

多普勒频移的观测，最高精度已达到 0.5%；对介子寿命的观测，精度约达0.4%；用原子钟做的实验精度较低，约10%。这些实验的结果都同相对论的预言符合。

在原子钟环球航行的实验中，虽然飞机速度远小于光速，但由于测量精度很高，仍然观测到了时间膨胀的相对论效应。

观测运动介质对光速影响的实验主要是斐索类型的实验。这个实验最初是A.斐索在1851年完成的，证明了运动介质中的光速同静止介质中的光速不同，而且其差异和爱因斯坦速度相加公式的预言相符。通常把这种现象称为“斐索效应”。近年来做的这类实验中，运动介质的运动方向包括了同光线方向垂直或成布儒斯特角等各种情况，其结果也都同狭义相对论速度相加公式的预言相符。

包括质速关系（惯性质量随物体运动速度的变化）和质能关系（即E=mс 关系）。质速关系是用电子和质子做的，事实上各种高能质子加速器和电子加速器的设计建造都验证了质速关系。质能关系主要是通过核反应来进行检验，精度达到了百万分之三十五。荷电粒子的电磁偏转实验、回旋加速器的运转、高速粒子飞行时间的测量、原子光谱精细结构分裂的解释等都为质速关系提供了证据。原子能发电、原子弹和氢弹的实现都以质能关系为理论基础。

有关电子静止质量的实验都没有观察到光子有静质量，因此只给出了光子静质量的上限。对库仑定律的检验给出的上限是 1.6×10 克，根据银河系旋臂磁场范围对光子静质量上限做的估计约为10 克。

除了上述六类主要的实验外，还有其他形式的实验。所有这些实验都没有观察到同狭义相对论有什么矛盾。此外，狭义相对论在相对论性量子力学、量子场论、粒子物理学、天文学、天体物理学、相对论性热力学和相对论性统计力学等领域中的成功应用，也都为它的正确性提供了丰富的证据。

虽然狭义相对论在理论的逻辑结构和形式上是很完美的，在实验上已有了非常牢固的基础，但人们仍对它不断深入进行研究：理论方面，探讨它在新领域中的应用；实验方面，使用新的观测方法和提高了测量精度的方法，更精密地检验它的正确性。此外还有不少实验试图观察超光速现象，但至今并没有得到令人信服的结果。

狭义相对论的建立，对物理学起了巨大的推动作用，并且深入到量子力学的范围，成为研究高速粒子不可缺少的理论，并取得了丰硕的成果。但是有两个原则性的根本问题未能解决。第一个是定义惯性系引起的困难。由于否定了“绝对时空”，惯性参考系（惯性系）成了无法定义的概念。如果惯性系是指牛顿第二定律在其中成立的参考系，那么只有在惯性系中牛顿第二定律才能成立，从而陷入“逻辑循环”，整个理论如同建筑在沙滩之上。第二个是万有引力引起的困难。万有引力定律与“绝对时空”紧密相连，必须加以修正，但其在洛伦兹变换下不具有协变性，因此无法纳入狭义相对论的框架。直至广义相对论建立之后，问题才得以彻底解决。

爱因斯坦的哲学信念：整个自然界是统一的、和谐的。他吸取了D.休谟对先验论、E.马赫对“绝对时空”概念的批判成果。其中马赫哲学对爱因斯坦影响最大。马赫认为时间和空间的量度与物质运动有关，时空观念是通过经验形成的，“绝对时空”没有经验根据。马赫据此对牛顿的“绝对时间”和“绝对空间”进行批判，否定“绝对时空”概念，并认为时间测量依赖于参考系。爱因斯坦从考察两个在空间上分隔开的事件的“同时性”入手，否定了“同时性”的绝对性及其有关的“绝对时间”概念，从而也否定了“绝对空间”概念以及实质上被当作绝对空间的“以太”的存在。爱因斯坦认为不存在绝对静止的参考系，麦克斯韦－洛伦兹的电动力学方程是正确的，物体在惯性系中运动定律不变的假设导致光速不变的概念。

相对论中的光速不变性可以从理论上由麦克斯韦方程组得出：c=1/(εμ) ，光速由真空介电常数ε与磁导率μ决定，是一个不变的常数，并且不依赖于参考系的选择。光速不变原理是宇宙时空对称性的体现。

狭义相对论不但可以解释经典物理学所能解释的全部物理现象，还可以解释一些经典物理学所不能解释的物理现象，并且预言了不少新的效应。它导致了光速是极限速度，导致了不同地点的同时性只有相对意义，预言了长度收缩和时钟变慢，给出了爱因斯坦速度相加公式、质量随速度变化的公式和质能关系。此外，按照狭义相对论，光子的静止质量必须是零。

狭义相对论把力学和电磁学在运动学的基础上统一起来，揭示了作为物质存在形式的空间和时间在本质上的统一性以及同物质运动的联系。狭义相对论的时空观，通过H.闵可夫斯基的工作得到重大发展。闵可夫斯基于1907年提出了空时四维表述形式，即在通常的空间三个坐标以外，引进第四个以光速和时间的乘积为尺度的虚坐标，这样就可以方便地用四维空间中的几何图形来表示事件（称为“世界点”）及其变化过程（称为“世界线”）。在闵可夫斯基空间中，原来三维空间的距离和时间的间隔两者各自独立的不变性虽然不再成立，但两者的结合体仍然是不变的。因此，他把这一观点称为“绝对世界的假设”。

爱因斯坦根据狭义相对论导出质量和能量的相当性（等价性），即物体的质量（m）是它所含能量（E）的量度：E=mc （c为真空中的光速），这就加深并发展了物质和运动的不可分离性原理。揭示了质量和能量是等价的，在本质上是同一的，证明自然界之间存在深刻的内在联系和统一性。按照狭义相对论的四维表示，能量和动量结合成一个量，即“能量－动量矢量（张量）”，动量是这个四维张量的空间分量，能量则是它的时间分量。这样，动量守恒定律和能量守恒定律就结合成一个统一的能量－动量守恒定律。

狭义相对论的提出给物理学带来了革命性的变化，更新了人们的世界观，为广义相对论的诞生奠定了坚实的基础，改变了人类对宇宙和自然的“常识性”观念，提出了“同时性的相对性”、“四维时空”等全新的概念。

狭义相对论的创立不仅引起了物理学的变革，而且对现代哲学产生了深远的影响。它提出的新的时空观、物质观和运动观，极大的发展了科学的自然观。

爱因斯坦是如何创立狭义相对论的，请看下面的内容：

早在16岁时，爱因斯坦就从书本上了解到光是以很快速度前进的电磁波，与此相联系，他非常想探讨与光波有关的所谓以太的问题。

17世纪的笛卡尔和其后的克里斯蒂安·惠更斯首创并发展了以太学说，认为以太就是光波传播的媒介，它充满了包括真空在内的全部空间，并能渗透到物质中。与以太说不同，牛顿提出了光的微粒说。

牛顿认为，发光体发射出的是以直线运动的微粒粒子流，粒子流冲击视网膜就引起视觉。18世纪牛顿的微粒说占了上风，到19世纪，却是波动说占了绝对优势。这短历史我在《见微知著》中写的很详细了。

以太学说发展，人们认为：波的传播需要媒质，光在真空中传播的媒质就是以太。与此同时，电磁学得到了蓬勃发展，经过麦克斯韦、赫兹等人的努力，形成了成熟的电磁现象的动力学理论——电动力学，并从理论与实践上证明光就是一定频率范围内的电磁波，从而统一了光的波动理论与电磁理论。

电磁学的发展最初也是纳入牛顿力学的框架，但在解释运动物体的电磁过程时却发现，与牛顿力学所遵从的相对性原理不一致。按照麦克斯韦理论，真空中电磁波的速度，也就是光的速度是一个恒量；然而按照牛顿力学的速度加法原理，不同惯性系的光速不同。也就是麦克斯韦与伽利略关于速度的说法明显相悖！

爱因斯坦似乎就是那个将构建崭新的物理学大厦的人。他认真研究了麦克斯韦电磁理论，特别是经过赫兹和洛伦兹发展和阐述的电动力学。爱因斯坦坚信电磁理论是完全正确的，但是有一个问题使他不安，这就是绝对参照系以太的存在。

相对性原理已经在力学中被广泛证明，在电动力学中却无法成立，对于物理学这两个理论体系在逻辑上的不一致，爱因斯坦提出了怀疑。他认为，相对性原理应该普遍成立，因此电磁理论对于各个惯性系应该具有同样的形式，但在这里出现了光速的问题。

光速是不变的量还是可变的量，成为相对性原理是否普遍成立的首要问题。当时的物理学家一般都相信以太，也就是相信存在着绝对参照系，这是受到牛顿的绝对空间概念的影响。

19世纪末，马赫在所著的《发展中的力学》中，批判了牛顿的绝对时空观，这给爱因斯坦留下了深刻的印象。1905年5月的一天，爱因斯坦与一个朋友贝索讨论这个已探索了十年的问题，贝索按照马赫主义的观点阐述了自己的看法，两人讨论了很久。我在《变化》在讨论惯性的时候，也引述马赫原理。所以马赫这个对爱氏的启发是很大的。

突然，爱因斯坦领悟到了什么，回到家经过反复思考，终于想明白了问题。第二天，他又来到贝索家，说：谢谢你，我的问题解决了。原来爱因斯坦想清楚了一件事：

时间没有绝对的定义，时间与光信号的速度有一种不可分割的联系。

1905年6月30日，德国《物理学年鉴》接受了爱因斯坦的论文《论动体的电动力学》，在同年9月的该刊上发表。这篇论文是关于狭义相对论的第一篇文章，它包含了狭义相对论的基本思想和基本内容。

爱因斯坦解决问题的出发点，是他坚信相对性原理。伽利略最早阐明过相对性原理的思想，但他没有对时间和空间给出过明确的定义。

牛顿建立力学体系时也讲了相对性思想，但又定义了绝对空间、绝对时间和绝对运动，在这个问题上他是矛盾的。而爱因斯坦大大发展了相对性原理，在他看来，根本不存在绝对静止的空间，同样不存在绝对同一的时间，所有时间和空间都是和运动的物体联系在一起的。

在这篇文章中，爱因斯坦没有讨论将光速不变作为基本原理的根据，他提出光速不变是一个大胆的假设，是从电磁理论和相对性原理的要求而提出来的。这篇文章是爱因斯坦多年来思考以太与电动力学问题的结果，他从同时的相对性这一点作为突破口，建立了全新的时间和空间理论，并在新的时空理论基础上给动体的电动力学以完整的形式，以太不再是必要的，以太漂流是不存在的。

什么是同时性的相对性？不同地方的两个事件我们何以知道它是同时发生的呢？一般来说，我们会通过信号来确认。为了得知异地事件的同时性我们就得知道信号的传递速度，但如何测出这一速度呢？我们必须测出两地的空间距离以及信号传递所需的时间，空间距离的测量很简单，麻烦在于测量时间，我们必须假定两地各有一只已经对好了的钟，从两个钟的读数可以知道信号传播的时间。但我们如何知道异地的钟对好了呢？

答案是还需要一种信号。这个信号能否将钟对好？如果按照先前的思路，它又需要一种新信号，这样无穷后退，异地的同时性实际上无法确认。不过有一点是明确的，同时性必与一种信号相联系，否则我们说这两件事同时发生是无意义的。

大家体会到这个概念的重要了吗？我在上面的各种提问，其实已经够深入了。

相对论认为，光速在所有惯性参考系中不变，它是物体运动的最大速度。由于相对论效应，运动物体的长度会变短，运动物体的时间膨胀。但由于日常生活中所遇到的问题，运动速度都是很低的（与光速相比），看不出相对论效应。

爱因斯坦在时空观的彻底变革的基础上建立了相对论力学，指出质量随着速度的增加而增加，当速度接近光速时，质量趋于无穷大。他并且给出了著名的质能关系式：E=mc^2，质能关系式对后来发展的原子能事业起到了指导作用。以上就是爱氏狭义相对论的创立过程。

摘自独立学者灵遁者科普书籍《变化》

1922年爱因斯坦被子请到日本作为 6 个星期的巡回演说。在京都大学 ( KyotoUniversity ) 时，有一位哲学教授西田 ( K.Nishida ) 请爱因斯坦讲他如何发现相对论。爱因斯坦就临时多加了一项演说来回答西田的问题。爱因斯坦的演说当场都有日文翻译。后来物理学家大野 ( Yoshimosa Oono) 将日文翻译成英文，登在今日物理 ( Physics Today ) 期刊上 ( 见文献10 。下面二段是那次演说中狭义相对论的发现过程的摘要。

爱因斯坦说，当他在大学时曾读到迈克耳孙与莫雷的实验，知道以太的构想是不对的。但他深信麦克斯韦及洛伦兹的公式是对的。另外有菲佐 ( Fizeau ) 的实验，证明光速是不变的，不受其他速度的影响。这与我们平常的加减法是不同，有了矛盾。为什么会有这矛盾呢？爱因斯坦花了一年的时间，想了各种方法来解说这矛盾，但都没有好的结果。

在瑞士伯尔尼（Bern）一个好天气的日子里，爱因斯坦去找朋友贝索 (M.Besso )讨论这问题，他们用各种不同的观点来讨论。突然爱因斯坦清楚了这问题的关键所在：不同速度地方的时间是不一样的，时间会因相对速度而改变。这是一新的观念，可将这矛盾解开了。次日爱因斯坦见到了贝索说：“谢谢你，我已将这问题解决了。”贝索听了觉得莫明其妙。五个星期后，狭义相对论就写成了。

以上的摘要中有提到的几位科学家的研究尚宜加以说明。迈克耳孙与莫雷的实验在第三 3 章内已提到过。这实验证明光速不受地球速度的影响，是一不变的常数。洛伦兹与菲茨杰拉德提出长度缩减的假说，来解释迈克耳孙与莫雷的结果。

麦克斯韦在1873年发表了电磁学说的基本公式。这些公式到现在还是经常应用。他证明电磁波的速度可以从空间中电磁的电容率（permittivity=capacitance / meter）及磁导率（ permittivity=inductance / meter ）计算出来，而发现电磁波的速度与光速完全相同。有名的物理学家玻尔兹曼（ L.Botzman ）称赞麦克斯韦的公式，他借用哥德（Goethe）的一句话：“这些文章与公式是 不是一位神写的呢？”（见文献 36 ，页 963）。

菲佐在1859年测量流动液体中的光速，发现光速并不受流体速度的影响。光速是固定不变的。这是很费解的谜（见文献 8 ，页 891）。

爱因斯坦注意了这谜有 7 年之久。1905 年他终于把这谜解决了。解开的关键点在于时间是可以改变的，他想出数学公式代表不同时间。当他将这些公式解开后，发现解出公式里有不少奇妙的好结果。这是科学上一大杰作，并且对世界有很大的影响。

《狭义相对论》

这二个不同速度坐标空间与时间的彼此关系在数学上叫做变换公式(transformation equation )。传统的变换公式又叫做伽利略( Galiean )或牛顿( Newton )的变换公式，是

《狭义相对论》

牛顿的公式 0049 中有二个系数A与B，以前已用二个条件来决定，为A=1及B=v。公式 0050 表示时间在二不同的地区是一样的。若按照牛顿公式 0049 及式 0050 ，则光速会因光源的速度而改变。例如光源以速度v 趋近观察者，依照这二个公式，该观察者所测到的光速应是c+v。但是根据西特尔及迈克耳孙与莫雷的实验，不管光源的移动多快，光速仍是c，牛顿公式 0049 及 0050 不符合。

为要与实验相符，爱因斯坦提出新的变换公式如下：

《狭义相对论》

《狭义相对论》

牛顿与爱因斯坦的变换公式有什么不同呢？牛顿公式（0049）与爱因斯坦公式（0051）是一样的，只是将二个系数用不同的字母来表示而已。主要的不同存在于牛顿公式（0050）与爱因斯坦公式（0052）之间。牛顿的时间在任何地方都有是一样的。爱因斯坦公式（ 0052 ）表示，时间在有相对速度的地区之间是不同的。这是一关键步骤，爱因斯坦他的新公式（0052）是他的一大发明，震动了全世界。

四个系数D，E，F及G它需要有四个物条件才能解出。其中有二个条件( 1 )及 ( 2 ) 是与以前牛顿的二条件相同的。爱因斯坦根据光速是固定不变而想出二个新的条件（3）及（4）。这四个条件将说明如下。条件（1）及（2）与牛顿的二个条件相同。

《狭义相对论》

条件（1）：站长测定街车的移动坐标原点 O' 位置。

条件（2）：固定站内的一点 A 变换到开动中街车里成为 A' 点。然后又变回固定站内，则必须回到原来的 A 点上，图 001 。不然 A点可随便改到另一个位置，这是不合理的。

爱因斯坦的新条件（3）和（4）。

爱因斯坦根据光速不变，不受光源速度的影响，想出了二个新条件。图 0014(a) 是固定车站，站里有二手电筒，为信号灯，一向右照，一向左照。图 0014（b）为移动的街车，是以速度 +v向右开走，街车里有观察者，他们的速度与街车相同，是 +v。右方向定为（+），左方向定为负向（-）。条件可以任何次序应用。将用条件（1），（3），（4）及（2）的次序来解四个系数。

条件（1）：站长测定街车的移动坐标原点 O' 位置，图 001 。

在开始时刻，固定与移动坐标原点 O 及 O' 可在同位置。车开动后，站长看到街车离去站长测到街车 O' 点的位置x等于街车速度v乘上时间，即x=vt。

街车里的人，他自己原点 O' 随车而走，是不变的，所以经常x'= 。

0053

0054

将式（0055 ）除以式（0056 ），即等号左边相除等于右边相除。

《狭义相对论》

上式中t 及t' 都被抵消了，得到

《狭义相对论》

上式乘以G 然后左右边交换，有

所以条件（1）决定了E和G之间的关系。

《狭义相对论》

《狭义相对论》

条件（3）：如图 0015 (a) 在站里的一手电筒向右以光速 + 照。在站里，光速是，或。在街车内的人看的光速不变，仍是，或。所以

0060

0061

将式（0062）除以式（0063），得到

上式中t及t'又相抵消了，有

将上式各项重新排列成为

《狭义相对论》

条件（4）：图 0015 (a) 在站里的一手电筒向左以光速 -c照不变。在站里光速是，或x=-ct。在街车内的人看到的光速不变，仍是 或x'=-ct'。

除了光的方向改为左以外，条件（4）与（3）是一样的。所以

0068

《狭义相对论》

0069

将式（0070）除以式（0071），得到

上式中t及t'又相抵消了，有

将上式各项重新排列成为

将上式各式各项重新排列，有的可相加，Gc抵消，得到

以2c 除以上式，有

上式除以c，有

把式（0080）代入（0059）E=vG 内，得到

然后将式（0081）代入式（0078）中，有

条件（2）：固定站内的一点 A 变换到开动中街车里成为 A' 点上，然后又转回到站内，则必须回到原来的 A 点上，图 0001 。不然 A 点可随便改到另外一位置，这是不合理的。

这条件在数学可证明四个系D，E，F，G之间必须有下列关系①：

1=DG-EF

0083

最后将上式两边开平方，得

系数D已决定了！其它三个系E，F，G就容易了。

①根据条件（2），数学上可证明在爱因斯坦变换公式中四个系数系的行列式（determinant ）必须等于 1 ，不然 A 点会到另外位置去。爱因斯坦的变换公式是

《狭义相对论》

在线性代数（linerar algebra）中有公式（0083）的更详细证明法。

将式（0086）代入式（0081）E=vD 中，有

最后将式（0086）代入（0080）G=D ，有

四个系数都有了，爱因斯坦的变换公式已推演完成。

其中x及t为车站内或观察者所在地的位置及时间；

《狭义相对论》

v为街车的速度；

c 为光速。

因为街车的速度v在x方向，其它二方向，（y及z）街车并没有速度。y与x垂直，z与xy的平面垂直。从式（0090），如以y取代x，y'取代x'及v=0 ，则式（0090）成为y=y'。相同的以z 取代x，z'代x'及v=0 ，则式（0090）成了z=z'。所以有

y=y' 及z=z'

0092

爱因斯坦用了一有趣的字来形容公式（0092）。他的文章写了在yz方向不应该有什么“阴谋”( cynical ) 或怪事（ strange ）发生。

公式（0090）及（0091）表明，观察者在车站内看见街车开动离去。如果观察者是在街辆，那么车内的时间是t，位置是x而站上的时间是t'，位置是x'。街车里的人看到站以速-v退去。公式（53）及（54）可重新排列成为