魏尔斯特拉斯函数

概述

解析函数analytic function

K.魏尔斯特拉斯将一个在圆盘上收敛的幂级数的和函数称为解析函数，而区域上的解析函数是指在区域内每一小圆邻域上都能表成幂级数的和的函数。关于解析函数的不同定义在20世纪初被证明是等价的。基于魏尔斯特拉斯的定义，区域上的解析函数可以看作是其内任一小圆邻域上幂级数的解析开拓，关于解析开拓的一般定义是，与分别是D与上的解析函数，若DÉ ，且在。则称 是由到D的解析开拓。解析开拓的概念可以推广到这样的情形：与分别是两个圆盘D1与D2上的幂级数，且 ，在上则也称f与g互为解析开拓，把可以互为解析开拓的的解析圆盘Δ全连起来，作成一个链。它们的并记作Ω，得到了Ω上的一个解析函数，称它为魏尔斯特拉斯的完全解析函数，这里可能出现这样的情形，在连成一个链的圆盘中，有一些圆盘重叠在一起，但在这些重叠圆盘的每一个上的解析函数都是不一样的，它们的每一个都称为完全解析函数的分支。这样的完全解析函数实际是一个多值函数。黎曼提出将多值解析函数中的那些重叠的圆盘看作是不同的“叶”，不使他们在求并的过程中只留下一个代表，于是形成了一种称为黎曼面的几何模型。将多值函数看作是定义于其黎曼曲面上的解析函数，这样多值解析函数变成了单值解析函数。半解析函数

为研究解析函数所不能解决的一般复变函数提供了一个通用方法

解析函数是一类比较特殊的复变函数。200多年来，其核心定理“柯西-黎曼”方程组一直被数学界公认是不能分开的。王见定发现，尽管解析函数已形成比较完善的理论并得到多方面的应用，但自然界能够满足“柯西-黎曼”方程组条件的现象很少，使解析函数的应用受到较大的限制。由此，寻找把“柯西-黎曼”方程组分开的途径，并在1981年以《半解析函数》为题撰写毕业论文。先后得出了一系列描述半解析函数特性的重要定理。发表了《半解析函数》.《半解析函数开拓》、《与半解析函数定义等价的几个定理》、《复变函数分解定理》等多篇学术论文，终于初步形成了半解析函数理论。在这个理论中，王见定大胆地将“柯西-黎曼”方程组的两个方程式分开，将满足其中任一个方程式的函数定义为半解析函数，从而实现了对解析函数的推广，为研究解析函数所不能解决的一般函数提供了一个通用的办法。

解析函数由Cauchy—Rieman方程组确定。今保留其中条件之一而引入半解析函数，得到了一些结果，并找到了半解析函数的物理背景。

1983年王见定教授在世界上首次提出半解析函数理论，1988年又首次提出并系统建立了共轭解析函数理论；并将这两项理论成功地应用于电场。磁场。流体力学。弹性力学等领域。此两项理论受到众多专家。学者的引用和发展，并由此引发双解析函数。复调和函数。多解析函数（k阶解析函数）.半双解析函数。半共轭解析函数以及相应的边值问题。微分方程。积分方程等一系列新的数学分支的产生。

共轭解析函数

共轭作为一个符号早年早有，但作为一个“共轭解析函数类”，王见定教授世界首次提出。任何一个学过复变函数的人都知道，复变函数的求导。积分都是仿实变函数的求导。积分形式推导出来的。解析函数之所以有价值，就在于它在电场。磁场。流体力学。弹性力学等方面的应用。但仔细考查，以上的应用都是共轭解析函数的直接应用，而非解析函数。共轭导数。共轭积分都有明确的物理。力学上直接含义（而解析函数没有）。仅这一点王见定教授使西方数学大家示弱。共轭解析函数是和解析函数完全对称的一类函数，这使得复变函数变得完美，众人皆知对称是科学的一个普遍的美。再者由于有了共轭解析函数类的提出，解析函数与共轭解析函数的不同组合才形成了复调和函数。双解析函数。多解析函数...及相应的微分方程。积分方程等一系列新的数学分支的产生。

边值问题

寻求满足一定边界条件的解析函数的一类问题，这是解析函数论在许多理论和实际问题中应用极为广泛的一个重要分支。下面是两个最典型的例子。

黎曼边值问题

设l为复平面上一组有向的光滑曲线，把平面分割为若干个连通区域，要求一分区全纯函数(即在上述每一个连通区域内全纯）φ(z)使 (1)式中G(t),g(t)都是已知函数，而和分别表示当z从l的正侧（即沿l正向前进时的左侧）和负侧(右侧)趋于l上一点时φ(z)的极限值亦即边值。此外还应补充要求φ(z)在无穷远处至多有一极点。如果l中含有开口弧段，则也应说明要求φ(z)在l的端点附近的性态：具有不到一阶的奇异性。在G(t),g(t)满足一定的条件时，这一问题已完全解决。 （1）希尔伯特边值问题

设G为一区域，l为其边界，取其正向使G在其左侧，要求在G内的一全纯函数φ(z)，使 (2)式中α(t)，b(t),с(t)都是l上已给的实函数。特别，当α(t)=1,b(t)=0时，则此希尔伯特边值问题就是解析函数的狄利克雷问题。当α(t),b(t),с(t)满足一定的条件时，上述边值问题已有较完整的讨论，但对G为多连通区域的情况还不能说已完全彻底解决。

有人把黎曼边值问题称作希尔伯特边值问题，而把希尔伯特边值问题称作黎曼－希尔伯特边值问题。这两个问题是有密切联系的，求解它们的主要工具都是柯西型积分。进一步推广是在(1)或(2)中可以含有或者含有,，其中α(t)为l映于自身的一个同胚映射，保向或逆向，称为l的位移。这样，相应的问题就称为带共轭的或带位移的边值问题，当然也有既带共轭又带位移的边值问题。

如果把(1)或(2)中的φ(z)看作N维分区全纯向量，而把G(t),α(t),b(t)看作N×N矩阵,g(t),с(t)也看作N维向量，则就构成了分区全纯向量的边值问题。这类问题虽也有许多工作，但与N=1的情况相比较，还远远没有达到完善的地步。

由于解析函数概念可推广为广义解析函数（基于把解析函数的实部、虚部所满足的柯西－黎曼方程组推广为较一般的一阶偏微分方程组），因此解析函数边值问题也可推广为广义解析函数边值问题，这是把函数论与偏微分方程结合起来的一个方向。

基本性质奇点

若函数f(z)在点z0不解析，但在z0任一邻域内总有f(z)的解析点，则称z0为f(z)的奇点。

定理

单连通域内解析函数的环路积分为0。

复连通域内，解析函数的广义环路积分（即包括内外边界，内边界取顺时针为正）为0。

解析函数的导函数仍然是解析函数。

证明

证明：设p为不是常数的复系数多项式，假设p没有复数根，则是C上的解析函数。并且当时，，或，因此是C上的有界解析函数，依据Liouville定理，任何这样的函数都是常函数，

但若是常数，那么p是常数，这与p不是常数的假设矛盾。应用

解析函数边值问题和广义解析函数边值问题在奇异积分方程方面有广泛的应用，它们在弹性力学、流体力学方面也有重要的应用。这些方面的理论及其应用，主要是由苏联学者建立和发展起来的。自20世纪60年代以来，中国的数学工作者在这些方面也做了不少工作。